סכום מכפלות של מספרים עוקביםאינדוקציה 571 · שיעור 4

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 4: סכום מכפלות של מספרים עוקבים

פרק 1 – מהי אינדוקציה והוכחת נוסחת סכום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)

= n(n + 1)(n + 2)3

הוכחה באינדוקציה

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל:

1 · 2 = 2

אגף ימין:

1 · 2 · 33 = 63 = 2 ✓

שני האגפים שווים.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 · 2 + … + k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)3

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא (k + 1)(k + 2).

צ״ל: 1 · 2 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)3

נציב במקום 1 · 2 + … + k(k + 1) את k(k + 1)(k + 2)3:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: k(k + 1)(k + 2)3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)3

📐 הנחת האינדוקציה

1 · 2 + … + k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)3

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3

צ״ל: k(k + 1)(k + 2)3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)3

בשני המחוברים יש (k + 1)(k + 2). נוציא אותו כגורם משותף:

📐 הוצאת גורם משותף

k(k + 1)(k + 2)3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2) · [k3 + 1]

בתוך הסוגריים נעשה מכנה משותף 3:

📐 מכנה משותף

= (k + 1)(k + 2) · [k3 + 33]

= (k + 1)(k + 2) · k + 33

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📐 מכנה משותף

a3 + 1 = a3 + 33 = a + 33

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3

= (k + 1)(k + 2) · k + 33

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא